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Beobachtungen:

Berechnung Doppelspalt, kurzer Abstand zur Projektionsfläche

Üblicherweise steht in Optikversuchen die Projektionsfläche im Vergleich zur Wellenlänge sehr weit weg.
Für das Beugungsbild gelten dann einfache Formeln mit trigonometrischen Funktionen.

Hier wird das Bild für eine vergleichsweise kurze Entfernung ausgerechnet, unter Berücksichtigung des Prinzips von Huygens: jeder Punkt ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle.

Annahme:
Jeder Spalt besteht aus MaxSpalt Stützpunkten, die Projektionsfläche aus MaxProj Stützpunkten.
Für jedes Punktepaar (SpaltStützpunkt- ProjektionsflächeStützpunkt) wird die Entfernung berechnet und durch die Wellenlänge ganzzahlig geteilt.
Der Divisionsrest, eine Dezimalzahl zwischen 0 und 1 entspricht der Phase für diesen Strahl.
Die Amplitude am Projektionsort ist dann proportional zu SIN(Phase*2PI).
Addiert man alle Amplituden und quadriert die Summe, dann erhält man die Intensität.

Zur besseren Darstellung ist es sinnvoll, diese Intensität noch mit der Anzahl der Punkte zu normieren.

Eingabeparameter sind:
SpaltBreite, ProjBreite, Abstand zur Projektionsfläche, Lambda Wellenlänge, DopAbst Abstand der beiden Spalte.

Programm

Einfluß der Wellenlänge

Abb. 01: Wellenlänge/Spaltbreite =1/10,
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/20
Spaltbreite/Abstand der Spalte = 0,1/1 = 0,1 (FB)

Abb. 02: Wellenlänge/Spaltbreite =1/5,
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/20
Spaltbreite/Abstand der Spalte = 0,1/1 = 0,1 (FB)

Abb. 03: Wellenlänge/Spaltbreite =1/2,
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/20
Spaltbreite/Abstand der Spalte = 0,1/1 = 0,1 (FB)

Einfluß des Abstandes beider Spalte voneinander, bei kurzem Projektionsabstand

Abb. 04: Wellenlänge/Spaltbreite =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/1 = 0,133 (FB)

Abb. 05: Wellenlänge/Spaltbreite =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/0,8 = 0,166 (FB)

Abb. 06: Wellenlänge/Spaltbreite =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/0,6 = 0,222 (FB)

Abb. 07: Wellenlänge/Spaltbreite =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/0,4 = 0,332 (FB)

Abb. 08: Wellenlänge/Spaltbreite =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/1 = 0,665 (FB)

Berechnung eines Doppelspaltes unter Vernachlässigung der Eigenschaft der Einzelspalte

Beispiel: Zwei einfache Streuzentren im Abstand von 5,5 Meter zur Beobachtungsebene.
Abstand voneinander: 0,1 Meter
Berechnung der Länge der beiden Wegstrecken zu einem beliebigen Auftreffpunkt auf der Beobachtungsebene, der dort einen seitlichen "Versatz" zur Symmetrielinie hat.
Aus der Differenz beider Längen ergibt sich ein Wegunterschied, der bei vorgegebener Wellenlänge über die Rechenvorschrift: Modulo (Differenz,Wellenlänge) bestimmen läßt, ob am Auftreffpunkt Auslöschung oder Verstärkung vorliegt

Abb. 09: Berechnung der Wegdifferenz aus dem seitlichen Versatz des Auftreffpunktes über den Satz von Pythagoras a²+b²= c².

b= 5,5 m, abstandRohre= 0,1m
Versatz = a

a1 =a - abstandRohre/2
a2 =a + abstandRohre/2
kurze Hypotenuse, c1 = WURZEL(b²+a1²)
lange Hypotenuse, C2 = WURZEL(b²+a2²)
Wellenlänge= 0,004 (Abb.09 und Abb.10) ; 0,007 (Abb.11) ; 0,010 (Abb.12) ; 0,020 (Abb.13)

Tab. 01:
für Wellenlänge=0,004

a Versatz	c1 kurze Hypotenuse	c2 lange Hypotenuse	c1-c2 Wegdifferenz	Wegdiff modulo Wellenlänge
0,050	5,5000	5,5009	0,00091	0,00091
0,075	5,5001	5,5014	0,00136	0,00136
0,100	5,5002	5,5020	0,00182	0,00182
0,125	5,5005	5,5028	0,00227	0,00227
0,150	5,5009	5,5036	0,00273	0,00273
0,175	5,5014	5,5046	0,00318	0,00318
0,200	5,5020	5,5057	0,00363	0,00363
0,225	5,5028	5,5069	0,00409	0,00009
0,250	5,5036	5,5082	0,00454	0,00054
0,275	5,5046	5,5096	0,00499	0,00099
0,300	5,5057	5,5111	0,00545	0,00145
0,325	5,5069	5,5128	0,00590	0,00190
0,350	5,5082	5,5145	0,00635	0,00235
0,375	5,5096	5,5164	0,00680	0,00280
0,400	5,5111	5,5184	0,00725	0,00325
0,425	5,5128	5,5205	0,00770	0,00370
0,450	5,5145	5,5227	0,00815	0,00015
0,475	5,5164	5,5250	0,00860	0,00060
0,500	5,5184	5,5274	0,00905	0,00105
0,525	5,5205	5,5300	0,00950	0,00150
0,550	5,5227	5,5326	0,00995	0,00195
0,575	5,5250	5,5354	0,01040	0,00240
0,600	5,5274	5,5383	0,01084	0,00284
0,625	5,5300	5,5413	0,01129	0,00329
0,650	5,5326	5,5444	0,01174	0,00374
0,675	5,5354	5,5476	0,01218	0,00018
0,700	5,5383	5,5509	0,01262	0,00062
0,725	5,5413	5,5543	0,01307	0,00107
0,750	5,5444	5,5579	0,01351	0,00151
0,775	5,5476	5,5615	0,01395	0,00195
0,800	5,5509	5,5653	0,01439	0,00239
0,825	5,5543	5,5692	0,01483	0,00283
0,850	5,5579	5,5731	0,01527	0,00327
0,875	5,5615	5,5772	0,01571	0,00371
0,900	5,5653	5,5814	0,01615	0,00015
0,925	5,5692	5,5858	0,01658	0,00058
0,950	5,5731	5,5902	0,01702	0,00102
0,975	5,5772	5,5947	0,01745	0,00145
1,000	5,5814	5,5993	0,01789	0,00189
1,025	5,5858	5,6041	0,01832	0,00232
1,050	5,5902	5,6089	0,01875	0,00275
1,075	5,5947	5,6139	0,01918	0,00318
1,100	5,5993	5,6189	0,01961	0,00361
1,125	5,6041	5,6241	0,02004	0,00004
1,150	5,6089	5,6294	0,02047	0,00047
1,175	5,6139	5,6348	0,02089	0,00089
1,200	5,6189	5,6403	0,02132	0,00132
1,225	5,6241	5,6459	0,02174	0,00174
1,250	5,6294	5,6515	0,02216	0,00216
1,275	5,6348	5,6574	0,02258	0,00258
1,300	5,6403	5,6633	0,02300	0,00300
1,325	5,6459	5,6693	0,02342	0,00342
1,350	5,6515	5,6754	0,02384	0,00384
1,375	5,6574	5,6816	0,02425	0,00025
1,400	5,6633	5,6879	0,02467	0,00067

Fortsetzung entsprechend . . .
Die rot markierten Zeilen gehören zu den Maxima

(FB)

Abb. 10: Weglängendifferenz modulo Wellenlänge, Spaltabstand: 0,1, Wellenlänge 0,02.
Der Maßstab für den Versatz erstreckt sich etwa über den vierfachen Abstand vom Zentrum bis zur Beobachtungsebene. (Blickwinkel von 0 Grad bis 75 Grad zur Seite) (FB)

Abb. 11: Weglängendifferenz modulo Wellenlänge, Spaltabstand: 0,1, Wellenlänge 0,01 (FB)

Abb. 12: Weglängendifferenz modulo Wellenlänge, Spaltabstand: 0,1, Wellenlänge 0,007 (FB)

Abb. 13: Weglängendifferenz modulo Wellenlänge, Spaltabstand: 0,1, Wellenlänge 0,004 (FB)

Abb. 13a: Ausschnitt von Abb. 13, Ausschnitt von 0 Grad bis etwa 45 Grad zur Seite (FB)

Abb. 14: Position der Maxima (nur positiver Bereich) aus der Tabelle zu Abb.13 abgelesen, fortlaufend gegen einen Index aufgetragen, indizierung

Etwa bis zum einem Ablenkwinkel von 45 Grad (Position = 5,5m, Index 17) ändert sich der Abstand aufeinanderfolgender Maxima maximal um den Faktor 2. Darüber hinaus nimmt er rasch zu.

Index	Position	Differenz
1	0,20	0,20
2	0,43	0,23
3	0,65	0,23
4	0,88	0,23
5	1,10	0,23
6	1,35	0,25
7	1,60	0,25
8	1,85	0,25
9	2,10	0,25
10	2,37	0,27
11	2,68	0,31
12	3,00	0,33
13	3,33	0,33
14	3,70	0,38
15	4,13	0,43
16	4,58	0,45
17	5,10	0,52
18	5,70	0,60
19	6,43	0,73
20	7,33	0,90
21	8,50	1,18
22	10,18	1,67
23	12,90	2,73
24	18,85	5,95

(FB)

Abb. 15: Die Daten der vorherigen Tabelle symmetrisch zum Nullpunkt aufgetragen. Es ergibt sich eine gespiegelte leicht S-förmige Kurve. Damit die beiden Kurvenäste in der Mitte zusammenpassen, wurden die Hälften jeweils um einen Indexpunkt nach außen verschoben. (FB)