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Beobachtungen:

Berechnung Doppelspalt, kurzer Abstand zur Projektionsfläche

Üblicherweise steht in Optikversuchen die Projektionsfläche im Vergleich zur Wellenlänge sehr weit weg.
Für das Beugungsbild gelten dann einfache Formeln mit trigonometrischen Funktionen.

Hier wird das Bild für eine vergleichsweise kurze Entfernung ausgerechnet, unter Berücksichtigung des Prinzips von Huygens: jeder Punkt ist Ausgangspunkt einer Elementarwelle.

Annahme:
Jeder Spalt besteht aus MaxSpalt Stützpunkten, die Projektionsfläche aus MaxProj Stützpunkten.
Für jedes Punktepaar  (SpaltStützpunkt- ProjektionsflächeStützpunkt) wird die Entfernung berechnet und durch die Wellenlänge ganzzahlig geteilt.
Der Divisionsrest, eine Dezimalzahl zwischen 0 und 1 entspricht der Phase für diesen Strahl.
Die Amplitude am Projektionsort ist dann proportional zu         SIN(Phase*2PI).
Addiert man alle Amplituden und quadriert die Summe, dann erhält man die Intensität.

Zur besseren Darstellung ist es sinnvoll, diese Intensität noch mit der Anzahl der Punkte zu normieren.

Eingabeparameter sind:
SpaltBreite, ProjBreite, Abstand zur Projektionsfläche, Lambda Wellenlänge, DopAbst Abstand der beiden Spalte.

Programm



Einfluß der Wellenlänge


dopspalt003.jpg
Abb. 01: Wellenlänge/Spaltbreite  =1/10
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/20
Spaltbreite/Abstand der Spalte = 0,1/1 = 0,1  (FB)
dopspalt002.jpg
Abb. 02: Wellenlänge/Spaltbreite  =1/5
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/20
Spaltbreite/Abstand der Spalte = 0,1/1 = 0,1  (FB)
dopspalt004.jpg
Abb. 03: Wellenlänge/Spaltbreite  =1/2
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/20
Spaltbreite/Abstand der Spalte = 0,1/1 = 0,1   (FB)





Einfluß des Abstandes beider Spalte voneinander, bei kurzem Projektionsabstand

dopspalt010.jpg
Abb. 04: Wellenlänge/Spaltbreite  =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/1 = 0,133   (FB)
dopspalt011.jpg
Abb. 05: Wellenlänge/Spaltbreite  =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/0,8 = 0,166   (FB)
dopspalt012.jpg
Abb. 06: Wellenlänge/Spaltbreite  =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/0,6 = 0,222   (FB)
dopspalt013.jpg
Abb. 07: Wellenlänge/Spaltbreite  =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/0,4 = 0,332   (FB)
dopspalt014.jpg
Abb. 08: Wellenlänge/Spaltbreite  =0,059/0,133=0,44
Spaltabstand/(Abstand zur Projektionsfläche) = 1/2
Spaltbreite/Abstand der Spalte= 0,133/1 = 0,665   (FB)



Berechnung eines Doppelspaltes unter Vernachlässigung der Eigenschaft der Einzelspalte


Beispiel: Zwei einfache Streuzentren im Abstand von 5,5 Meter zur Beobachtungsebene.
Abstand voneinander: 0,1 Meter
Berechnung der Länge der beiden Wegstrecken zu einem beliebigen Auftreffpunkt auf der Beobachtungsebene, der dort einen seitlichen "Versatz" zur Symmetrielinie hat.
Aus der Differenz beider Längen ergibt sich ein Wegunterschied, der bei vorgegebener Wellenlänge  über die Rechenvorschrift: Modulo (Differenz,Wellenlänge) bestimmen läßt, ob am Auftreffpunkt Auslöschung oder Verstärkung vorliegt


kuehlwasser-xls-006.jpg
Abb. 09: Berechnung der Wegdifferenz aus dem seitlichen Versatz des Auftreffpunktes über den Satz von Pythagoras      a²+b²= c².
 
b= 5,5 m, abstandRohre= 0,1m
Versatz  =  a
 
a1 =a - abstandRohre/2
a2 =a + abstandRohre/2
kurze Hypotenuse, c1 = WURZEL(b²+a1²)
lange Hypotenuse, C2 = WURZEL(b²+a2²)
Wellenlänge= 0,004  (Abb.09 und Abb.10) ; 0,007  (Abb.11) ;  0,010 (Abb.12)  ;  0,020  (Abb.13)


Tab. 01:
für Wellenlänge=0,004

a
Versatz
c1  kurze Hypotenuse c2  lange Hypotenuse c1-c2
Wegdifferenz
Wegdiff modulo Wellenlänge
0,050 5,5000 5,5009 0,00091 0,00091
0,075 5,5001 5,5014 0,00136 0,00136
0,100 5,5002 5,5020 0,00182 0,00182
0,125 5,5005 5,5028 0,00227 0,00227
0,150 5,5009 5,5036 0,00273 0,00273
0,175 5,5014 5,5046 0,00318 0,00318
0,200 5,5020 5,5057 0,00363 0,00363
0,225 5,5028 5,5069 0,00409 0,00009
0,250 5,5036 5,5082 0,00454 0,00054
0,275 5,5046 5,5096 0,00499 0,00099
0,300 5,5057 5,5111 0,00545 0,00145
0,325 5,5069 5,5128 0,00590 0,00190
0,350 5,5082 5,5145 0,00635 0,00235
0,375 5,5096 5,5164 0,00680 0,00280
0,400 5,5111 5,5184 0,00725 0,00325
0,425 5,5128 5,5205 0,00770 0,00370
0,450 5,5145 5,5227 0,00815 0,00015
0,475 5,5164 5,5250 0,00860 0,00060
0,500 5,5184 5,5274 0,00905 0,00105
0,525 5,5205 5,5300 0,00950 0,00150
0,550 5,5227 5,5326 0,00995 0,00195
0,575 5,5250 5,5354 0,01040 0,00240
0,600 5,5274 5,5383 0,01084 0,00284
0,625 5,5300 5,5413 0,01129 0,00329
0,650 5,5326 5,5444 0,01174 0,00374
0,675 5,5354 5,5476 0,01218 0,00018
0,700 5,5383 5,5509 0,01262 0,00062
0,725 5,5413 5,5543 0,01307 0,00107
0,750 5,5444 5,5579 0,01351 0,00151
0,775 5,5476 5,5615 0,01395 0,00195
0,800 5,5509 5,5653 0,01439 0,00239
0,825 5,5543 5,5692 0,01483 0,00283
0,850 5,5579 5,5731 0,01527 0,00327
0,875 5,5615 5,5772 0,01571 0,00371
0,900 5,5653 5,5814 0,01615 0,00015
0,925 5,5692 5,5858 0,01658 0,00058
0,950 5,5731 5,5902 0,01702 0,00102
0,975 5,5772 5,5947 0,01745 0,00145
1,000 5,5814 5,5993 0,01789 0,00189
1,025 5,5858 5,6041 0,01832 0,00232
1,050 5,5902 5,6089 0,01875 0,00275
1,075 5,5947 5,6139 0,01918 0,00318
1,100 5,5993 5,6189 0,01961 0,00361
1,125 5,6041 5,6241 0,02004 0,00004
1,150 5,6089 5,6294 0,02047 0,00047
1,175 5,6139 5,6348 0,02089 0,00089
1,200 5,6189 5,6403 0,02132 0,00132
1,225 5,6241 5,6459 0,02174 0,00174
1,250 5,6294 5,6515 0,02216 0,00216
1,275 5,6348 5,6574 0,02258 0,00258
1,300 5,6403 5,6633 0,02300 0,00300
1,325 5,6459 5,6693 0,02342 0,00342
1,350 5,6515 5,6754 0,02384 0,00384
1,375 5,6574 5,6816 0,02425 0,00025
1,400 5,6633 5,6879 0,02467 0,00067
Fortsetzung entsprechend . . .
Die rot markierten Zeilen gehören zu den Maxima

(FB)

kuehlwasser-xls-010.jpg
Abb. 10: Weglängendifferenz modulo Wellenlänge, Spaltabstand: 0,1, Wellenlänge 0,02.
Der Maßstab für den Versatz erstreckt sich etwa über den vierfachen Abstand vom Zentrum bis zur Beobachtungsebene. (Blickwinkel von 0 Grad bis 75 Grad zur Seite) (FB)
kuehlwasser-xls-007.jpg
Abb. 11: Weglängendifferenz modulo Wellenlänge, Spaltabstand: 0,1, Wellenlänge 0,01 (FB)
kuehlwasser-xls-008.jpg
Abb. 12: Weglängendifferenz modulo Wellenlänge, Spaltabstand: 0,1, Wellenlänge 0,007 (FB)
kuehlwasser-xls-009.jpg
Abb. 13: Weglängendifferenz modulo Wellenlänge, Spaltabstand: 0,1, Wellenlänge 0,004 (FB)
kuehlwasser-xls-012.jpg
Abb. 13a: Ausschnitt von Abb. 13, Ausschnitt von 0 Grad bis etwa 45 Grad zur Seite (FB)

kuehlwasser-xls-011.jpg
Abb. 14: Position der Maxima (nur positiver Bereich) aus der Tabelle zu Abb.13 abgelesen, fortlaufend gegen einen Index aufgetragen,  indizierung
 
Etwa bis zum einem Ablenkwinkel von 45 Grad (Position = 5,5m, Index 17) ändert sich der Abstand aufeinanderfolgender Maxima maximal um den Faktor 2. Darüber hinaus nimmt er rasch zu.


Index
Position
Differenz
1 0,20 0,20
2 0,43 0,23
3 0,65 0,23
4 0,88 0,23
5 1,10 0,23
6 1,35 0,25
7 1,60 0,25
8 1,85 0,25
9 2,10 0,25
10 2,37 0,27
11 2,68 0,31
12 3,00 0,33
13 3,33 0,33
14 3,70 0,38
15 4,13 0,43
16 4,58 0,45
17 5,10 0,52
18 5,70 0,60
19 6,43 0,73
20 7,33 0,90
21 8,50 1,18
22 10,18 1,67
23 12,90 2,73
24 18,85 5,95

(FB)
kuehlwasser-xls-013.jpg
Abb. 15: Die Daten der vorherigen Tabelle symmetrisch zum Nullpunkt aufgetragen.  Es ergibt sich eine  gespiegelte leicht S-förmige Kurve. Damit die beiden Kurvenäste in der Mitte zusammenpassen, wurden die Hälften jeweils um einen Indexpunkt nach außen verschoben. (FB)



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